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#1. Une fonction peut-elle avoir une limite finie en un point a sans être définie en a ?
La limite peut exister même si f n’est pas définie au point. Exemple : `f(x)=sin(x)/x` tend vers 1 en x=0 même si elle n’est pas définie en 0.
#2. Soit `f(x) = (x^2 – 1)/(x – 1)` . Quelle est la limite de `f(x)` lorsque `x` tend vers 1 ?
On factorise le numérateur ce qui permet de simplifier la fonction en `f(x) = x + 1` pour x différent de 1. Ainsi, la limite est égale à 2.
#3. Si `lim_(x->+oo) f(x) = +oo`, alors :
Une limite infinie implique que f n’est pas bornée mais ça nous dit rien sur ses autres propriétés comme le sens de variation (elle peut être oscillante) ni sur son signe (elle peut négative en dehors de grandes valeurs de x).
#4. La limite de `f(x) = 1/x` lorsque `x` tend vers `0` par valeurs positives est `+oo`.
Lorsque `x` tend vers `0` par valeurs positives, `1/x` tend vers +infini.
#5. La fonction `f(x) = (x^3 – x^2) / (x^2 + 2x)` tend-elle vers `+oo` lorsque `x` tend vers `+oo` ?
Le terme dominant au numérateur est `x^3` et au dénominateur `x^2`, donc la limite est +infini.
#6. Calculer la limite suivante : `lim_(x->0) sin(3x)/x`
la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1 (=dérivée de sin(x) en 0), en multipliant le numérateur et le dénominateur par 3, on obtient une limite de 3.
#7. Calculer la limite suivante : `lim_(x->+oo) (x^3)/(e^x)`
L’exponentielle croît plus vite que tout polynôme, donc la limite est 0.
#8. Calculer la limite suivante : `lim_(x->2) sqrt(x^2 + 4)`
En substituant x par 2, on obtient `sqrt(2^2 + 4) = sqrt(8)`.
#9. Pour la fonction `f(x) = x/(x-1)`, la droite x = 1 est :
La fonction tend vers l’infini quand x tend vers 1.
#10. Calculer la limite suivante : `lim_(x->+oo) (e^x)/(x^2)`
L’exponentielle croît beaucoup plus vite qu’un polynôme, donc la limite est infini.
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