Résultats
#1. Pour garantir une solution unique à `f(x) = k` sur `[a; b]`, que doit-on vérifier ?
La stricte monotonie et la continuité garantissent une solution unique.
#2. Si `f` est continue et strictement croissante sur `[a; b]`, combien de solutions peut avoir l’équation `f(x) = k` sachant que `f(a)<k<f(b)`?
La stricte monotonie garantit l’unicité de la solution.
#3. La fonction racine carrée `sqrt(x)` est-elle continue sur `[0, +oo[` ?
`sqrt(x)` est continue sur son domaine de définition `[0, +oo[`.
#4. Quelle est la limite de `f(x) = x/(x+1)` pour `x -> +oo` ?
En divisant par `x`, la limite tend vers `1`.
#5. La fonction `f(x) = sqrt(x)` est-elle continue en `x = 0` ?
La fonction `sqrt(x)` est continue à gauche et à droite de `0`.
#6. La fonction `f(x) = |x|` est-elle continue sur `RR` ?
La fonction valeur absolue est continue sur tout `RR`.
#7. La fonction `g(x) = sin(x)` admet-elle une limite en `x = +oo` ?
`sin(x)` oscille entre `-1` et `1`, donc n’a pas de limite à `+oo`.
#8. La limite de `f(x) = ln(x)/x` en `+oo` est ?
`ln(x)` croît moins vite que `x`, donc le rapport tend vers `0`.
#9. L’équation `f(x) = k` a toujours une unique solution si `f` est continue sur `[a; b]` et k est compris entre f(a) et f(b).
Il faut également que la fonction soit strictement monotone pour garantir l’unicité.
#10. Quelle est la limite de `f(x) = ln(x)` en `x -> 0^+` ?
La fonction `ln(x)` tend vers `-oo` quand `x` tend vers `0^+`.
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