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#1. La fonction `f(x) = |x|` est-elle strictement monotone sur `RR` ?
La fonction valeur absolue change de sens de variation en x=0, elle n’est donc pas strictement monotone sur `RR`.
#2. Le taux d’accroissement moyen d’une fonction `f` entre deux points `a` et `b` est donné par :
La formule du taux d’accroissement moyen est (valeur finale – valeur initiale)/(variation de la variable).
#3. Donnez l’exemple d’une fonction ayant un point d’inflexion.
La fonction `f(x) = x^3` a un point d’inflexion en x=0.
#4. Si `f^’text()^'(x) > 0` sur un intervalle, que peut-on dire de la fonction f sur cet intervalle ?
Une dérivée seconde positive indique une fonction convexe c’est à dire un graphe courbé vers le haut.
#5. Qu’est-ce qu’une fonction convexe sur un ensemble E?
Une fonction convexe est une fonction où la « corde » reliant deux points de la courbe passe toujours au-dessus ou sur la courbe. Mathématiquement, pour tous points x et y et un réel t ∈ [0,1], la valeur interpolée f(t*x + (1-t)*y) est toujours inférieure ou égale à l’interpolation des valeurs f(x) et f(y).
#6. Vrai ou Faux: Si `f'(x) > 0` pour tout `x` dans un intervalle, alors `f(x)` est strictement croissante sur cet intervalle.
Vrai. Une dérivée positive indique une croissance continue de la fonction sur l’intervalle.
#7. Quelle condition doit vérifier la dérivée d’une fonction pour que cette fonction soit strictement croissante sur un intervalle ?
La fonction est strictement croissante si sa dérivée est positive sur l’intervalle considéré.
#8. Que signifie dire qu’une fonction est strictement monotone sur un intervalle ?
Une fonction strictement monotone ne change pas de sens de variation sur l’intervalle considéré.
#9. Vrai ou Faux: La dérivée d’une fonction peut être négative sur un intervalle.
Vrai. Une dérivée négative indique une pente négative, signifiant que la fonction est décroissante sur cet intervalle.
#10. Si f(x) et g(x) sont deux fonctions dérivables, quelle est la dérivée de leur produit f(x) * g(x) ?
La règle du produit stipule que la dérivée d’un produit est le premier facteur multiplié par la dérivée du second plus le second facteur multiplié par la dérivée du premier.
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