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#1. Quelle est une condition nécessaire pour qu’une suite converge ?
Pour qu’une suite converge vers une limite L, tous ses termes doivent finir par se rapprocher et rester proche de L. Par conséquent, les termes ne peuvent pas s’éloigner indéfiniment et la suite est bornée (majorée ET minorée).
#2. Une suite qui converge vers zéro est bornée.
Une suite qui converge vers 0 reste dans un intervalle autour de 0 à partir d’un certain rang, donc elle est bornée.
#3. Le théorème de convergence monotone peut être utilisé pour prouver la convergence de la suite de Fibonacci.
La suite de Fibonacci est croissante mais non majorée, donc le théorème de convergence monotone ne s’applique pas. En fait, cette suite diverge vers plus l’infini.
#4. Si les termes d’une suite `U_n` appartiennent à l’intervalle [a , b] à partir d’un certain rang, qu’est-ce que cela signifie ?
Si les termes de la suite appartiennent à l’intervalle [a,b] à partir d’un certain rang, cela signifie que, au-delà de ce rang, tous les termes sont compris entre a et b. Avant ce rang, certains termes peuvent dépasser b.
#5. Une suite dont les termes alternent entre des valeurs positives et négatives est forcément …
Une suite alternée n’est pas forcément bornée (Ex: `(-2)^n` est non bornée) ni forcément divergente (Ex: `(-1/2)^2` converge vers 0). Elle n’est jamais monotone car elle alterne entre positif et négatif, ce qui en fait nécessairement une suite non monotone.
#6. Si `N`=ensemble des entiers naturels et `R`=ensemble des réels alors, toute suite numérique peut être vue comme une fonction …
Une suite peut être vue comme une fonction qui, à chaque entier naturel `n in NN`, associe un réel `U_n in RR`.
#7. La limite d’une suite décroissante est toujours le plus petit terme de la suite.
La limite d’une suite décroissante, si elle existe, est le plus grand minorant de la suite, pas forcément un terme de la suite elle-même. Par exemple, la suite `U_n=1/n` est décroissante et tend vers 0, mais 0 n’est jamais un terme de la suite.
#8. Pour une suite croissante et non majorée, sa limite est …
Une suite croissante non majorée augmente indéfiniment sans jamais atteindre de limite supérieure, ce qui signifie qu’elle tend vers plus l’infini.
#9. Une suite croissante est toujours minorée.
Une suite croissante est toujours minorée, car elle possède un premier terme qui peut servir de minorant.
#10. Une suite qui diverge vers plus l’infini ne peut pas être minorée.
Une suite qui diverge vers plus l’infini peut être minorée. Exemple : `U_n=n^2` est minorée par 0.
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